[03그리디] 3-4 1이 될 때까지(p99~p102)

[예제3-4]

어떠한 수 N이 1이 될 때 까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다. 단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어떨어질 때만 선택할 수 있다.

1. N에서 1을 뺀다.

2. N을 K로 나눈다.

 

예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정하자. 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1이 된다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 된다. 이는 N을 1로 만든느 최소 횟수이다.

N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

[입력 조건]

첫째 줄에 N(2 <= N <= 100,000)과 K(2 <= K <= 100,000)가 공백으로 구분되며 각각 자연수로 주어진다. 이때 입력으로 주어지는 N은 항상 K보다 크거나 같다.

 

[출력 조건]

첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

 

[입력 예시]

25 5

 

[출력 예시]

2

 

[코어 아이디어]

주어진 N에 대하여 '최대한 많이 나누기'를 수행하면 된다.

-> 1을 빼는것보단 2로 나누는게 가장 빠르게 숫자를 줄일 수 있기 때문.

 

1. N이 K의 배수가 될 때 까지 1씩 빼기

2. N을 K로 나누기

-> 이 두 가지를 반복하는 로직이 됨.

 

예) N=25, K=3일때

단계	연산과정	N의 값
0단계		N=25
1단계	1빼기	N=24
2단계	3으로 나누기	N=8
3단계	1빼기	N=7
4단게	1빼기	N=6
5단계	3으로 나누기	N=2
6단계	1빼기	N=1

 

즉, 여기선 N이 K보다 클 때, K가 2 이상이기만 하면 나누는게 훨씬 효율적이다.

 

[솔루션(단순Ver)]

n, k = map(int, input().split())
result = 0

while n >= k:
    #N이 K로 나누어 떨어지지 않을때는 N에서 1씩 빼기
    while n % k != 0:
        n -= 1
        result += 1
    #k로 나누기
    n //= k
    result += 1

#위의 while에서 탈출된경우 나눠지지 않는 경우니 1을 빼줌
while n>1:
    n -= 1
    result += 1

print(result)

 

[솔루션(N이 100억 이상일때)]

n, k = map(int, input().split())
result = 0

while True:
    #(N == K로 나누어 떨어지는 수)가 될 때까지 1씩 빼기
    target = (n // k) * k
    result += (n - target)
    n = target
    #N이 K보다 작을 때(더이상 나눌 수 없을 떄) 반복문 탈출
    if n < k:
        break
    # K로 나누기
    result += 1
    n //= k

result += (n - 1)
print(result)

 

1. 나누기 전에는 나머지만큼 빼는 것이 최적

• 어떤 상태 n에서 k로 나누려면 최소 n % k번 빼야 한다.
• 다른 순서로 몇 번을 빼든, 나눗셈 직전의 값은 n - t가 되고 t ≥ n % k가 된다.
• 즉, “나머지(n % k)만큼 한 번에 빼기 → 나누기”가 빼기 횟수를 최소화한다.
• 교환 논증: 빼기와 나누기 중, 나누기 직전까지의 모든 빼기를 앞으로 모아도 연산 수는 증가하지 않는다. 따라서 항상 바로 target = (n // k) * k로 만든 뒤 나누는 게 최적.

1. 나눌 수 있을 때는 무조건 나누는 것이 최적

• 나누기는 1회에 값이 크게 줄어든다.
• 나눌 수 있는데 빼기를 먼저 해도 나중에 다시 그만큼 빼야 하거나 나눗셈 기회를 늦출 뿐 이득이 없다.
• 따라서 “가능하면 바로 나누기”가 국소 최적이며 전역 최적.

알고리즘 흐름

• target = (n // k) * k로 만들어 n - target번 빼기.
• n을 k로 나누기.
• n < k가 되면 더 못 나누니 n - 1번만 빼서 1 도달.
• 각 단계가 위 두 성질로 최적. 단계들을 이어 붙여도 전체가 최적.

복잡도

• 나눗셈 횟수는 O(log_k n).
• 빼기 횟수는 각 단계의 n % k 합이며, 이것이 최소 하한과 일치.